[MOSFET 03] Second-order Effect

2.2 MOS I/V Characteristics에서 MOSFET의 전류-전압 특성에 대해 공부하였다.

우리는 MOSFET의 Gate 전압이 threshold 전압 이상이 되면, 마치 MOSFET이 갑자기 turn-on되는 것처럼 배웠는데 실제로 MOSFET의 동작은 그렇지 않다.

그래서 실제 MOSFET의 동작에는 어떤 imperfection이 있는지 살펴보자.

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2022.02.17. 초안

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2.3 Second-Order Effects

각각 cut-off region, triode region, saturation region의 drain current 수식이다.

위 수식을 보면, cut-off region에서는 전류가 전혀 흐르지 않고 saturation region에서는 Drain-Source 전압이 전류에 영향이 없지만 실제 MOSFET 동작은 그렇지 않다.

또한, threshold voltage를 기준으로 MOSFET의 ON/OFF가 구분되지만 $V_{GS}\le V_{th}$더라도 MOSFET은 약하게 켜질 수 있다.(weak inversion)

이와같은 MOSFET의 second-order effect에 대해서 알아볼 예정이다.

2.3.1 Body Effect

Body terminal을 통해 substrate의 전압을 control하게 되는데, substrate와 Source/Drain은 항상 reverse-bais를 유지해야한다. 그래서 Body voltage는 terminal들 중 가장 낮은 전압(NMOS에서는 Source terminal)에 연결한다.

그런데 Body 전압이 Source 전압보다 더 낮아지면 어떻게 될까?

$V_{B}<0$이면, substrate의 Majority carrier인 hole이 Body로 빠져나가 Gate 아래에 더많은 negative ion들이 형성된다. 따라서 Oxide interface에 electron을 inversion(electron과 negative ion 사이의 반발력들 다 이겨내야 한다)하기 위해서는더 큰 Gate 전압이 필요하게 된다. 즉, threshold voltage가 상승한다. 이를 Body effect(or back-gate effect)라고 한다.

수식에서 살펴보면, negative ions의 증가로 $\left| Q_{dep}\right|$의 크기가 증가하므로 $V_{th}$가 증가함을 한눈에 알 수 있다. 그래서 기존의 threshold voltage를 $V_{th0}$라고 한다면, body effect를 고려한 threshold voltage는 다음과 같다.

이때 body-effect coefficient, $\gamma$는 $\gamma =\sqrt{2q\epsilon_{si}N_{sub}}/C_{ox}$이다.

2.3.2 Channel-Length Modulation

saturation region에서 channel에서 pinch-off가 발생한 이후, $V_{DS}$를 $V_{GS}-V_{th}$보다 더 키우면 pinch-off point가 Source 쪽으로 이동한다. 그러면, Source와 Drain 사이의 effective length가 줄어드는 효과가 일어나고 이를 Channel-Length Modulation이라고 한다.

$\Delta L$은 $V_{DS}$의 함수이므로, $\Delta L/L =\lambda V_{DS}$로 두면 Channel-Length Modulation을 고려한 saturation current는 다음과 같다.

$\lambda$는 channel-length modulation coefficient이다. 

I-V curve를 보면, saturation region에서도 $V_{DS}$가 증가함에 따라 Drain current가 미세하게 증가함을 알 수 있다.

그런데 drain current에서 $V_{DS}$의 영향보다 $V_{GS}$의 영향이 dominant하기 때문에, $V_{DS}$의 영향은 error로 간주한다.

2.3.3 Subthreshold Conduction

threshold voltage를 기준으로 Gate 전압이 크냐 작냐에 따라서 MOSFET의 ON/OFF를 정의하였다. 그런데 $V_{GS}$가 threshold voltage보다 작지만 $V_{GS} \approx V_{th}$인 상태에서도 channel에는 electron이 어느정도 모여있다. 이를 보고 weak inversion이라고 한다.

그래서 $V_{GS}<V_{th}$인 상태에서도 전류가 흐르게 되는데 이를 보고 subthreshold conduction이라고 한다. subthreshold conduction일 때 drain current는 다음과 같다.

$I_0$는 $V_{GS}=0$일때 흐르는 전류이고, $\xi>1$는 non-ideality factor, $V_T=kT/q$는 thermal voltage이다.($k$는 boltzman constant, $T$는 temperature, q는 electron charge) 위 수식은 상당히 근사된 수식인데 circuit designer로서는 충분하다.

수식을 살펴보면, subthreshold condition(weak inversion)에서 MOSFET은 마치 BJT처럼 동작한다.

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